Skip to main content

​
Tujuan Instruksional Khusus

Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan :
  • Mengetahui definisi Sistem Persamaan Linier
  • Dapat membentuk matriks yang merepresentasikan Sistem Persamaan Linier
  • Dapat menyelesaikan Sistem Persamaan Linier dengan menggunakan metode Gauss dan Gauss Jordan

​
Persamaan Linear

Persamaan yang semua variabelnya berpangkat 1 atau 0 dan tidak terjadi perkalian antar variabelnya.
Contoh:
  1. x+y+2z=9x + y + 2z = 9 -> PL
  2. 2x+y=9       2x + y = 9 ~~~~~~~ -> PL
  3. 2xy−z=9     2xy - z = 9 ~~~~~ -> Bukan PL
Solusi PL (1) : berupa suatu “tripel” dengan masing-masing nilai sesuai urutan (nilai-x, nilai-y, nilai-z) yang memenuhi persamaan tersebut. Himpunan solusi untuk persamaan di atas:
{ ... ( 0, 1, 4), (1, 0, 4), (4, 5, 0), .... }
Himpunan solusi juga disebut Ruang Solusi (solution space)

​
Sistem Persamaan Linier

Suatu sistem terdiri dari beberapa (2 atau lebih) persamaan linier. Contoh:
  x+  y=3~~ x + ~~ y = 3
3x−5y=13x - 5y = 1 Ruang Solusi:
berupa semua ordered-pair (nilai−x,nilai−y)(nilai-x, nilai-y) yang harus memenuhi semua persamaan linier dalam sistem tersebut; untuk sistem ini ruang solusinya { (2, 1) }

​
Penyimpangan Pada Penyelesaian Suatu SPL

Pada beberapa SPL tertentu terdapat penyimpangan - penyimpangan dalam penyelesaiannya, misal :
Diberikan SPL sebagai berikut :
    x1+12x2+12x3=1~~~~ _{x1} + \dfrac{1}{2}x2 + \dfrac{1}{2}x3 = 1 12x1+13x2+14x3=0\dfrac{1}{2}x1 + \dfrac{1}{3}x2 + \dfrac{1}{4}x3 = 0 13x1+14x2+15x3=0\dfrac{1}{3}x1 + \dfrac{1}{4}x2 + \dfrac{1}{5}x3 = 0 Diperoleh penyelesaian x1=9x1 = 9, x2=−36x2 = -36, dan x3=30x3 = 30 Jika SPL tersebut dituliskan dalam bentuk dua desimal :
        x1+0,5x2  +0,33x3=1~~~~~~~~ _{x1} + 0,5_{x2} ~~ + 0,33_{x3} = 1
0,5x1  +0,33x2+0,25x3=00,5_{x1} ~~ + 0,33_{x2} + 0,25_{x3} = 0
0,33x1+0,25x2+0,2x3  =00,33_{x1} + 0,25_{x2} + 0,2_{x3} ~~ = 0 Didapat penyelesaian x1≈55,55x1 ≈ 55,55; x2≈−277,778x2 ≈ -277,778; dan x3≈255,556x3 ≈ 255,556 Contoh Lain:
Diberikan SPL sebagai berikut :
            x+           y=2            ~~~~~~~~~~~~ x + ~~~~~~~~~~~ y = 2 ~~~~~~~~~~~~ dan x+           y=2x + ~~~~~~~~~~~ y = 2
            x+1.0001y=2                   x+1.0001y=2,0001~~~~~~~~~~~~ x + 1.0001y = 2 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ x + 1.0001y = 2,0001            ~~~~~~~~~~~ Penyelesaian:                        ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Penyelesaian :
                x=2                                    x=2~~~~~~~~~~~~~~~~ x = 2 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ x = 2
                y=0                                    y=0~~~~~~~~~~~~~~~~ y = 0 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ y = 0 Diberikan SPL sebagai berikut :
           0,001x+y=1→x+1000y=1000~~~~~~~~~~~ 0,001x + y = 1 → x + 1000y = 1000
                     x+y=2→x+       y=2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ x + y = 2 → x + ~~~~~~~ y = 2 sehingga :
           −9999y=−9998→y=0,9999→x=1,0001~~~~~~~~~~~ -9999y = -9998 → y = 0,9999 → x = 1,0001 Jika nilai y dibulatkan 3 desimal, didapat nilai y≈1y ≈ 1, substitusikan ke persamaan pertama didapat nilai x=0x = 0.

​
Interpretasi Geometrik

Sistem menggambarkan 2 garis lurus pada sebuah bidang datar.
           g1:x+y=3~~~~~~~~~~~ g_{1} : x + y = 3
          ~~~~~~~~~~ g2:3x−5y=1g_{2} : 3x - 5y = 1
         ~~~~~~~~~ Solusi: g1g_{1} dan g2g_{2} berpotongan di (2, 1) Kemungkinan:
  • berpotongan di 1 titik berpotongan di 1 titik
  • tidak berpotongan tidak berpotongan
  • berimpit berimpit