> ## Documentation Index
> Fetch the complete documentation index at: https://v1-learn.neoartd.my.id/llms.txt
> Use this file to discover all available pages before exploring further.

# Sistem Persamaan Linier

## Tujuan Instruksional Khusus

Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan :

* Mengetahui definisi Sistem Persamaan Linier
* Dapat membentuk matriks yang merepresentasikan Sistem Persamaan
  Linier
* Dapat menyelesaikan Sistem Persamaan Linier dengan menggunakan
  metode Gauss dan Gauss Jordan

## Persamaan Linear

Persamaan yang semua variabelnya berpangkat 1 atau 0 dan tidak terjadi
perkalian antar variabelnya.\
Contoh:

1. $x + y + 2z = 9$ -> `PL`
2. $2x + y = 9 ~~~~~~~$ -> `PL`
3. $2xy - z = 9 ~~~~~$ -> `Bukan PL`

`Solusi PL (1)` : berupa suatu **"tripel"** dengan masing-masing nilai sesuai
urutan `(nilai-x, nilai-y, nilai-z)` yang memenuhi persamaan tersebut.

**Himpunan solusi untuk persamaan di atas:**\
`{ ... ( 0, 1, 4), (1, 0, 4), (4, 5, 0), .... }`\
Himpunan solusi juga disebut **Ruang Solusi (*solution space*)**

## Sistem Persamaan Linier

Suatu sistem terdiri dari beberapa (2 atau lebih) persamaan linier.

Contoh:\
$~~ x + ~~ y = 3$\
$3x - 5y = 1$

**Ruang Solusi:**\
berupa semua *`ordered-pair`* **$(nilai-x, nilai-y)$** yang harus
memenuhi semua persamaan linier dalam sistem tersebut;
untuk sistem ini ruang solusinya `{ (2, 1) }`

## Penyimpangan Pada Penyelesaian Suatu SPL

Pada beberapa SPL tertentu terdapat penyimpangan - penyimpangan dalam penyelesaiannya, misal :\
Diberikan SPL sebagai berikut :\
$~~~~ _{x1} + \dfrac{1}{2}x2 + \dfrac{1}{2}x3 = 1$

$\dfrac{1}{2}x1 + \dfrac{1}{3}x2 + \dfrac{1}{4}x3 = 0$

$\dfrac{1}{3}x1 + \dfrac{1}{4}x2 + \dfrac{1}{5}x3 = 0$

Diperoleh penyelesaian $x1 = 9$, $x2 = -36$, dan $x3 = 30$

Jika SPL tersebut dituliskan dalam bentuk dua desimal :\
$~~~~~~~~ _{x1} + 0,5_{x2} ~~ + 0,33_{x3} = 1$\
$0,5_{x1} ~~ + 0,33_{x2} + 0,25_{x3} = 0$\
$0,33_{x1} + 0,25_{x2} + 0,2_{x3} ~~ = 0$

Didapat penyelesaian $x1 ≈ 55,55$; $x2 ≈ -277,778$; dan $x3 ≈ 255,556$

**Contoh Lain:**\
Diberikan SPL sebagai berikut :\
$~~~~~~~~~~~~ x + ~~~~~~~~~~~ y = 2 ~~~~~~~~~~~~$ dan $x + ~~~~~~~~~~~ y = 2$\
$~~~~~~~~~~~~ x + 1.0001y = 2 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ x + 1.0001y = 2,0001$

$~~~~~~~~~~~$ Penyelesaian: $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$ Penyelesaian :\
$~~~~~~~~~~~~~~~~ x = 2 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ x = 2 $\
$~~~~~~~~~~~~~~~~ y = 0 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ y = 0 $

Diberikan SPL sebagai berikut :\
$~~~~~~~~~~~ 0,001x + y = 1 → x + 1000y = 1000 $\
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ x + y = 2 → x + ~~~~~~~ y = 2 $

sehingga :\
$~~~~~~~~~~~ -9999y = -9998 → y = 0,9999 → x = 1,0001$

Jika nilai y dibulatkan 3 desimal, didapat nilai $y ≈ 1$, substitusikan ke persamaan pertama didapat
nilai $x = 0$.

## Interpretasi Geometrik

Sistem menggambarkan 2 garis lurus pada sebuah bidang datar.\
$~~~~~~~~~~~ g_{1} : x + y = 3 $\
$~~~~~~~~~~$ $g_{2} : 3x - 5y = 1 $\
$~~~~~~~~~$ Solusi: $g_{1}$ dan $g_{2}$ berpotongan di (2, 1)

Kemungkinan:

* berpotongan di 1 titik
  ![berpotongan di 1 titik](https://i.ibb.co/yfFYnp1/Screenshot-2024-04-03-104416.png)
* tidak berpotongan
  ![tidak berpotongan](https://i.ibb.co/LCKCkzL/Screenshot-2024-04-03-104455.png)
* berimpit
  ![berimpit](https://i.ibb.co/vvvs4mW/Screenshot-2024-04-03-104503.png)