> ## Documentation Index
> Fetch the complete documentation index at: https://v1-learn.neoartd.my.id/llms.txt
> Use this file to discover all available pages before exploring further.

# Metode Gauss dan Gauss-Jordan

## Solusi Sistem Persamaan Linier

1. Cara Biasa → Seperti SMA
2. Eliminasi Gauss
3. Eliminasi Gauss - Jordan

### Cara Biasa (untuk mengingat kembali)

$~~~~~$ I. $~~~ x + ~~y = 3 → 3x + 3y = 9$\
$~~~~~~~~~~ 3x - 5y = 1 → 3x - 5y = 1 ~~~ _{-}$\
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 8y = 8 ~~~~~~~~~~~~~~~~~ → y = 1$\
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 3x - 5 = 1 → 3x = 6 → x = 2$\
$~~~~~$ II. $~~~ y = 3 - x$\
$~~~~~~~~~~ 3x - 5(3 - x) = 1$ atau\
$~~~~~~~~~~ 3x - 15 + 5x = 1 → 8x = 16 → x = 2$\
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ y = 3 - x → y = 1$

***Augmented Matrix*** : (Matriks yang diperbesar)\
Matriks yang entri-entrinya dibentuk dari koefisien-koefisien
Sistem Persamaan Linier

Contoh :
$~~~~ x + ~~ y + 2z = 9$\
$~~~~~~~~~~~~~~~~ 2x + 4y - 3z = 1$\
$~~~~~~~~~~~~~~~~ 3x + 6y - 5z = 0$

**Matriks Augmented-nya** :

$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & | & 9\\
2 & 4 & -3 & | & 1\\
3 & 6 & -5 & | & 0\\
\end{pmatrix}
$$

### Eliminasi Gauss

![1](https://i.ibb.co/nfG8gFw/Screenshot-2024-04-03-112205.png)

**Operasi Baris Elementer (OBE)**\
Perhatikan bahwa tiap baris dari matriks merepresentasikan persamaan linier

1. Mengalikan suatu baris dengan bilangan nyata $k \neq 0$
2. Menukar posisi dua baris
3. Menambah baris-i dengan k kali baris-j

![2](https://i.ibb.co/jWnc0vV/Screenshot-2024-04-03-112839.png)
![3](https://i.ibb.co/L8X1SZs/Screenshot-2024-04-03-112856.png)

**Eliminasi Gauss (Ringkasan)**
![4](https://i.ibb.co/PzvhL1p/Screenshot-2024-04-03-112916.png)

### Eliminasi Gauss-Jordan

![5](https://i.ibb.co/pzr6XZ1/Screenshot-2024-04-03-112926.png)

**Eliminasi Gauss-Jordan (Ringkasan)**
![6](https://i.ibb.co/k674C9D/Screenshot-2024-04-03-112931.png)

## Bentuk Eselon

Pada contoh sebelumnya, kita menyelesaikan suatu SPL dengan faktor-faktor yang tidak diketahui $x, y,$ dan $z$ dengan reduksi matriks yang diperbesar menjadi

$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 3 \\
\end{bmatrix}
$$

Sehingga diperoleh solusi $x = 1, y = 2,$ dan $z = 3.$\
Ini merupakan contoh matriks dalam **bentuk eselon baris tereduksi (*reduced row-echelon form*)**

### Bentuk eselon baris

1. Entri-entri dalam sebuah baris tidak semuanya nol, maka entri
   pertama yang tidak nol harus 1 (disebut 1-utama / leading-1)
2. Baris-baris yang semua entrinya 0, dikelompokkan di bagian
   bawah matriks
3. Posisi 1-utama dari baris yang lebih bawah harus lebih ke kanan
   d/p 1-utama baris yang lebih atas

### Bentuk eselon baris tereduksi:

1, 2, 3, ditambah

4. Semua entri (yang lain) dari kolom yang berisi 1-utama harus di-
   0-kan